Mandelbrot · math.adamdub.xyz

MANDELBROT

arrastrá: mover · rueda o pellizco: zoom · doble clic: acercar (mayús: alejar)

C colores · J Julia · Enter entrar al Julia · O órbita · V viaje · S sonido · F pantalla completa · espacio pausa · R inicio · ? qué es esto

Conjunto de Mandelbrot

Cada punto de la pantalla es un número c. Empezá en cero y repetí una sola operación: elevar al cuadrado y sumar c. Si el resultado se dispara al infinito, c queda afuera, y el color dice qué tan rápido escapó. Si se queda dando vueltas para siempre, c es parte del conjunto: la zona oscura.

z₀ = 0 → z₁ = z₀² + c → z₂ = z₁² + c → …

Números con dos dimensiones

Los puntos del plano son números complejos: tienen una parte horizontal y una vertical. Elevar uno al cuadrado duplica su ángulo y eleva al cuadrado su distancia al centro. Por eso los recorridos giran.

La línea que sigue a tu cursor

Es la órbita: el camino z₀, z₁, z₂… del punto donde estás. Si escapa, se va de la pantalla. Si no, queda atrapada. En el cuerpo principal cae en un solo punto; en el bulbo grande de la izquierda salta entre 2 valores; cada bulbo más chico tiene su propio ciclo, de 3, 4, 5 pasos…

Con el sonido prendido, cada paso de la órbita es una nota. Adentro de un bulbo vas a escuchar su ciclo como un arpegio que se repite.

Julia: el mapa dentro del mapa

Misma fórmula, otra pregunta: fijás c y probás todos los puntos de partida. El resultado es un conjunto de Julia. El recuadro de abajo a la derecha muestra el Julia del punto donde está tu cursor. Si c está adentro del Mandelbrot, su Julia es una sola pieza; si está afuera, se desarma en polvo. El Mandelbrot es el índice de todos los Julia.

Copias infinitas

Acercate a cualquier borde y vas a encontrar mini Mandelbrots, espirales y ramas que se parecen al todo sin ser idénticas. El borde es tan enredado que, aunque es una línea, ocupa el plano como una superficie: su dimensión fractal es 2. Lo demostró Mitsuhiro Shishikura en 1998.

Viajes

Si no tocás nada por un rato, el viaje empieza solo (tecla V). O elegí un destino:

Un poco de historia

Pierre Fatou y Gaston Julia estudiaron estas repeticiones entre 1917 y 1918, sin computadoras para verlas. Robert Brooks y Peter Matelski publicaron el primer dibujo del conjunto en 1978, hecho con caracteres de impresora. Benoit Mandelbrot lo exploró con las computadoras de IBM en 1980, y en 1982 Adrien Douady y John Hubbard demostraron que es una sola pieza conectada y le pusieron su nombre.

Curiosidad: π escondido

En el cuello entre el cuerpo y el bulbo izquierdo, en c = −0,75 + ε·i, contá cuántos pasos tarda en escapar y multiplicalo por ε: cuanto más chico es ε, más se acerca a π. Lo descubrió Dave Boll en 1991.

El límite de esta versión

La placa de video calcula con unos 7 dígitos de precisión. Por eso el zoom se frena cerca de ×25.000: más adentro, los puntos vecinos se vuelven indistinguibles y la imagen se pixela. Los zooms «infinitos» de los videos usan trucos de alta precisión.